Les nombres flous

Qu’est-ce qu’un ensemble ou nombre flou?

Nous avons l’habitude de définir une variable par un chiffre précis. Ainsi s’il nous faut définir un périmètre de sécurité autour d’un captage d’eau nous allons établir une distance exacte, par exemple 100 m. La démarche de la logique floue est d’ajouter une deuxième dimension à notre valeur, représentant l’indice d’appartenance à cette valeur.

On représente alors les valeurs sur deux axes : l’axe des X représente les valeurs classiques (dans cet exemple la distance) et l’axe des Y représente l’appartenance des valeurs à notre définition. Une valeur de 1 indique une appartenance totale, une valeur de 0 une exclusion totale, les valeurs entre 0 et 1 indiquent une appartenance partielle.

Cette dernière notion représente l’apport essentiel des nombres flous. Dans notre exemple, le territoire se divise en deux classes : les endroits qui se trouvent dans le périmèrtre des 100 m et ceux qui se trouvent à l’extérieur.

Si nous définissons maintenant ce périmètre par un nombre flou, nous dirons, par exemple, que cette distance est sûrement comprise entre 80 et 125 m, et plus probablement entre 95 et 105 m.

nombre_flou

Notre territoire ne se divise plus en deux catégories. Elles existent bien pour les valeurs inférieures à 80 m et supérieures à 125 m, mais nous avons introduit une série de valeurs inetrmédiaires (entre 80 et 95 et entre 105 et 125). Les limites entre les catégories ne sont plus nettes, elles deviennent progressives, floues.

Prenons l’exemple d’une classification des communes rurales selon leur population:

P: petites communes (0-1000 habitants)

M: communes moyennes(1000-5000 habitants)

G: grandes communes (plus de 5000 habitants)

En logique classique:

classique

En logique floue :

flou

On voit que la logique classique n’utilise que le 0 et le 1 ainsi les communes sont petites, puis moyennes, et enfin grandes. La deuxième figure montre la représentation graphique des trois fonctions d’appartenance Petite, Moyenne et Grande. Ces fonctions nous permettent de superposer sur des plages de population données les qualificatifs “petite” et “moyenne” ainsi que “moyenne” et “grande”. Cette dernière représentation est plus proche du raisonnement humain.